Previous Up Next

1.22.1  Συντελεστές Fourier : fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn

Έστω f μια T-περιοδική συνάρτηση στο ℝ η οποία είναι συνεχής εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η f είναι συνεχής στο x, τότε :

f(x)=
a0
2
+
+∞
n=1
 an cos(
nx
T
)+bn sin(
2π nx
T
 =
+∞
n=−∞
 cn e
2iπ nx
T
 

όπου οι συντελεστές an, bn, nN, (ή cn, nZ) είναι οι συντελεστές Fourier της f. Η εντολή fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn υπολογίζει αυτούς τους συντελεστές.

fourier_an

fourier_an παίρνει 4 η 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβλητή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (ως προεπιλογή a=0).
fourier_an(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier an μιας συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και τέτοια ώστε f να είναι περιοδική με περίοδο T:

 an=
2
T
a+T


a
f(x)cos(
2π nx 
T
)dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε assume(n,integer) πριν καλέσουμε την fourier_an για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση f, με περίοδο T=2, που ορίζεται στο [−1,1[ από την f(x)=x2.
Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή a0 εισάγουμε:

fourier_an(x^2,x,2,0,-1)

Έξοδος :

1/3

Για τον συντελεστή an (n≠ 0) εισάγουμε:

assume(n,integer);fourier_an(x^2,x,2,n,-1)

Έξοδος :

4*(-1)^n/(pi^2*n^2)

fourier_bn

fourier_bn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (απο προεπιλογή a=0).
fourier_bn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier bn μιας συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:

 bn=
2
T
a+T


a
f(x)sin(
2π nx
T
)dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε assume(n,integer) πριν καλέσουμε την fourier_bn για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα

fourier_cn

fourier_cn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (από προεπιλογή a=0).
fourier_cn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier cn μιας συνάρτησης f μεταβλητής x ορισμένης στο [a,a+T[ από την f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:

 cn=
1
T
a+T


a
f(x)e
−2iπ nx
T
 
dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε την assume(n,integer) πριν να καλέσουμε την fourier_cn για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα

Σχόλια :


Previous Up Next