1.33.3 Ανάπτυγμα σε σειρά : series
series παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :
-
μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή
x),
- μια ισότητα variable=value (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή
x=0,
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά,
από προεπιλογή 5,
- μια κατεύθυνσση -1, 1 (για ανάπτυγμα σε σειρά χωρίς κατεύθυνση)
ή 0 (για ανάπτυγμα σε σειρά με 2 κατευθύνσεις) (από προεπιλογή
0).
Σημειώσατε ότι η σύνταξη
…,x,n,a,...
(αντί για
…,x=a,n,...) είναι επίσης αποδεκτή.
series επιστρέφει το πολυώνυμο στο
x-a, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:
(x-a)^
n*order_size(x-a)
όπου
order_size είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,
∀ r>0, | | xr
order_size(x) = 0 |
Η τάξη που επιστρέφεται από την
series μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα
Παραδείγατα :
-
ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του
x=0
Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά της παράστασης
x3+sin(x)3/x−sin(x)
στην περιοχή του
x=0.
Είσοδος :
series(x^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)))
Έξοδος είναι ανάπτυγμα μόνο 2ης τάξης :
6+-27/10*x^2
+x^
3*order_size(x)
Έχουμε χάσει 3 τάξεις γιατί ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή
είναι 3. Για να πάρουμε ανάπτυγμα 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε
n=7, εισάγοντας:
series(x^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)),x=0,7)
ή:
series(x^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)),x,0,7)
Έξοδος είναι ανάπτυγμα 4ης τάξης :
6+-27/10*x^
2+x^
3+711/1400*x^
4+
x^
5*order_size(x)
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του
x=a
Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης της cos(2x)2 στην περιοχή του
x=π/6.
Είσοδος:
series(cos(2*x)^
2,x=pi/6, 4)
Έξοδος :
1/4+(-(4*sqrt(3)))/4*(x-pi/6)+(4*3-4)/4*(x-pi/6)^
2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)^
3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)^
4+ (x-pi/6)^
5*order_size(x-pi/6)
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του
x=+∞ ή
x=-∞
-
Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 5ης τάξης της arctan(x) στην περιοχή του
x=+∞.
Είσοδος :
series(atan(x),x=+infinity,5)
Έξοδος :
pi/2-1/x+1/3*(1/x)^
3+1/-5*(1/x)^
5+
(1/x)^
6*order_size(1/x)
Σημειώστε ότι η μεταβλητή του αναπτύγματος και το όρισμα της συνάρτησης
order_size είναι
h=1/x →x→ + ∞ 0 .
- Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1 στην περιοχή του
x=+∞.
Είσοδος :
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,3)
Έξοδος είναι ανάπτυγμα 1ης τάξης:
2*x+1+2/x+(1/x)^
2*order_size(1/x)
Για να πάρουμε ανάπτυγμα 2ης τάξης 1/x, εισάγουμε :
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,4)
Έξοδος :
2*x+1+2/x+17/6*(1/x)^
2+(1/x)^
3*order_size(1/x)
- Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1) στην περιοχή του
x=-∞.
Είσοδος :
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=-infinity,4)
Έξοδος:
-2*(-x)+1-2*(-1/x)+17/6*(-1/x)^
2+
(-1/x)^
3*order_size(-1/x)
- ανάπτυγμα σε σειρά με μονή κατεύθυνση
Η τέταρτη παράμετρος υποδεικνύει την κατεύθυνση :
-
1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με
x>a,
- -1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με
x<a,
- 0 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με
x ≠ a.
Για παράδειγμα,
βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (1+x)1/x/x3
στην περιοχή του x=0+.
Είσοδος :
series((1+x)^
(1/x)/x^
3,x=0,2,1)
Έξοδος :
exp(1)/x^
3+(-(exp(1)))/2/x^
2+1/x*order_size(x)